پاسخ فعالیت صفحه 13 ریاضی و آمار دهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت یافتن ریشه‌های معادله درجه دوم صفحه 13 ریاضی دهم انسانی سلام به دانش‌آموزان کوشای دهم انسانی! این فعالیت اولین مواجهه‌ی جدی ما با **معادلات درجه دوم** است. معادلات درجه دوم، برخلاف معادلات درجه اول، معمولاً **بیش از یک پاسخ** دارند. آماده‌اید تا این معما را حل کنیم؟ ### گام اول: تشکیل و حدس جواب‌های معادله **معادله:** ما به دنبال عددی هستیم که مربع آن ($athbf{x^2}$) با سه برابر خودش ($athbf{3x}$) برابر باشد. $$\mathbf{x^2 = 3x}$$ 1. **حدس اول: عدد 3** اگر $\mathbf{x = 3}$ باشد: $\mathbf{3^2 = 9}$ و $\mathbf{3 \times 3 = 9}$. چون $\mathbf{9 = 9}$ است، پس $\mathbf{x=3}$ یک جواب است. 2. **حدس دوم: عدد 0** اگر $\mathbf{x = 0}$ باشد: $\mathbf{0^2 = 0}$ و $\mathbf{3 \times 0 = 0}$. چون $\mathbf{0 = 0}$ است، پس $\mathbf{x=0}$ نیز یک جواب است. **پاسخ به سوالات حدسی:** * **آیا این معادله بیش از یک جواب دارد؟** بله، حداقل $\mathbf{x=3}$ و $\mathbf{x=0}$ جواب‌های آن هستند. * **از میان مقادیر زیر کدام یک می‌تواند جواب معادله باشد؟** * $\mathbf{x = 3 \mathbf{\checkmark}}$ (چون $3^2=9$ و $3\times 3=9$) * $\mathbf{x = 4 \square}$ (چون $4^2=16$ و $3\times 4=12$. $16 \neq 12$) * $\mathbf{x = -3 \square}$ (چون $(-3)^2=9$ و $3\times (-3)=-9$. $9 \neq -9$) * $\mathbf{x = 1 \square}$ (چون $1^2=1$ و $3\times 1=3$. $1 \neq 3$) * $\mathbf{x = 0 \mathbf{\checkmark}}$ (چون $0^2=0$ و $3\times 0=0$) ### گام دوم: حل معادله با روش تجزیه (علمی‌ترین روش) روش حدس زدن همیشه عملی نیست. بهترین راه حل این است که معادله را به **فرم استاندارد** $\mathbf{ax^2 + bx + c = 0}$ بیاوریم و از روش‌هایی مانند **تجزیه** استفاده کنیم. **معادله را مرتب می‌کنیم:** $$\mathbf{x^2 = 3x \Rightarrow x^2 - 3x = 0}$$ **تجزیه به کمک فاکتورگیری:** در این مرحله، از $\mathbf{x}$ فاکتور می‌گیریم (چون در هر دو جمله مشترک است): $$\mathbf{x(x - 3) = 0}$$ **قاعده‌ی ضرب صفر:** در ریاضی می‌دانیم که اگر حاصل ضرب دو یا چند عبارت صفر باشد، حداقل یکی از آن عبارت‌ها باید صفر باشد. $$\mathbf{A \times B = 0 \Rightarrow A = 0 \text{ یا } B = 0}$$ پس داریم: * **عبارت اول (A):** $\mathbf{x = 0}$ * **عبارت دوم (B):** $\mathbf{x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3}$ $$\mathbf{x^2 = 3x \Rightarrow x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x-3) = 0 \Rightarrow x = \mathbf{0} \text{ یا } x = \mathbf{3}}$$ **نکته مهم:** اگر از ابتدا دو طرف $\mathbf{x^2 = 3x}$ را بر $\mathbf{x}$ تقسیم می‌کردیم، جواب $\mathbf{x=0}$ را از دست می‌دادیم! در معادلات، هرگز بر عبارتی که **ممکن است صفر باشد** تقسیم نکنید؛ همیشه از روش‌های استاندارد مانند تجزیه استفاده کنید تا تمام ریشه‌ها را بیابید.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت مساحت و محیط شکل H شکل صفحه 13 ریاضی دهم انسانی خب، برویم سراغ این مسئله‌ی هندسی جذاب! برای حل این تمرین، باید با دقت، **محیط** و **مساحت** شکل را بر حسب $\mathbf{x}$ به دست آوریم و سپس آن‌ها را مساوی قرار دهیم. ### گام اول: محاسبه محیط شکل ($\mathbf{P}$) محیط، مجموع طول تمام اضلاع خارجی شکل است. اضلاعی که اندازه‌ی آن‌ها مشخص نشده، طبق فرض سوال $\mathbf{x}$ هستند. 1. **اضلاع عمودی:** ما چهار ضلع عمودی در قسمت‌های بیرونی داریم که هر کدام $\mathbf{2x}$ هستند. همچنین دو ضلع عمودی کوچک داخلی داریم که طول آن‌ها باید $\mathbf{2x - x - x = 0}$ باشد. صبر کنید! اگر به شکل دقت کنیم، ارتفاع کل شکل $\mathbf{2x}$ است. اضلاع افقی بالایی و پایینی $\mathbf{x}$ و ضلع میانی نیز $\mathbf{x}$ است. * **محاسبه دقیق:** شکل دارای 12 ضلع است. * **چهار ضلع عمودی بزرگ:** $\mathbf{4 \times 2x = 8x}$ (دو تا در سمت چپ و دو تا در سمت راست) * **هشت ضلع کوچک (افقی و عمودی داخلی):** تمام این اضلاع $\mathbf{x}$ هستند. (دو ضلع افقی بالا، دو ضلع افقی پایین، دو ضلع عمودی داخلی، و دو ضلع افقی داخلی) **تعداد اضلاع x:** در مجموع **ده** ضلع با طول $\mathbf{x}$ داریم (چهار ضلع افقی بیرونی و میانی، چهار ضلع عمودی کوچک داخلی و دو ضلع افقی داخلی). **تعداد اضلاع 2x:** چهار ضلع عمودی بیرونی داریم که طول آن‌ها $\mathbf{2x}$ است. **تصحیح:** در شکل، تمام پاره‌خط‌ها به جز دو پاره خط $\mathbf{2x}$ داده شده، $\mathbf{x}$ هستند. تعداد اضلاع شکل $\mathbf{12}$ تا است. * $\mathbf{4}$ ضلع عمودی بیرونی هر کدام $\mathbf{2x}$. * $\mathbf{8}$ ضلع دیگر (افقی‌ها و عمودی‌های داخلی) هر کدام $\mathbf{x}$. **محیط ($athbf{P}$):** $$P = (4 \times 2x) + (8 \times x)$$ $$P = 8x + 8x$$ $$\mathbf{P = 16x}$$ ### گام دوم: محاسبه مساحت شکل ($\mathbf{A}$) مساحت کل شکل را می‌توانیم با تقسیم کردن آن به **سه مستطیل** ساده به دست آوریم: دو مستطیل جانبی و یک مستطیل میانی. 1. **دو مستطیل کناری (سمت راست و چپ):** * عرض هر کدام $\mathbf{x}$. * طول هر کدام $\mathbf{2x}$. * مساحت دو مستطیل: $\mathbf{2 \times (x \times 2x) = 4x^2}$ 2. **یک مستطیل میانی:** * طول آن $\mathbf{x}$ است. * عرض آن $\mathbf{2x - x - x}$ است؟ خیر! عرض مستطیل میانی $\mathbf{x}$ است (زیرا ضلع عمودی داخلی آن $\mathbf{x}$ است). * مساحت مستطیل میانی: $\mathbf{x \times x = x^2}$ **مساحت کل ($athbf{A}$):** $$A = 4x^2 + x^2$$ $$\mathbf{A = 5x^2}$$ ### گام سوم: تشکیل و حل معادله طبق صورت سوال، $\mathbf{\text{محیط } = \text{ مساحت}}$: $$\mathbf{16x = 5x^2}$$ **پاسخ خط اول:** $$\text{اندازه محیط شکل } = \text{ اندازه مساحت شکل } \Rightarrow \mathbf{16x} = \mathbf{5x^2}$$ **حل معادله درجه دوم:** 1. **مرتب‌سازی:** همه‌ی جملات را به یک طرف می‌بریم تا سمت دیگر صفر شود: $$5x^2 - 16x = 0$$ 2. **تجزیه (فاکتورگیری):** از $\mathbf{x}$ فاکتور می‌گیریم: $$x(5x - 16) = 0$$ 3. **پیدا کردن ریشه‌ها:** از قاعده‌ی ضرب صفر استفاده می‌کنیم: * **ریشه اول:** $\mathbf{x = 0}$ * **ریشه دوم:** $\mathbf{5x - 16 = 0 \Rightarrow 5x = 16 \Rightarrow x = \frac{16}{5}}$ ### گام چهارم: نتیجه‌گیری ما دو جواب برای $\mathbf{x}$ به دست آوردیم: $\mathbf{x=0}$ و $\mathbf{x = \frac{16}{5}}$. * **رد کردن $\mathbf{x=0}$:** چون $\mathbf{x}$ نشان‌دهنده‌ی طول یک پاره‌خط است، نمی‌تواند صفر باشد (زیرا در این صورت شکلی وجود نخواهد داشت!). * **جواب قابل قبول:** $\mathbf{x}$ باید یک عدد مثبت باشد. $$\mathbf{x = \frac{16}{5} = 3.2}$$ پس مقدار $\mathbf{x}$ که شرط مسئله را برآورده می‌کند $\mathbf{\frac{16}{5}}$ یا $\mathbf{3.2}$ است.